回文自动机(PAM)

一.概念

1.回文自动机

回文自动机，又叫回文树，是一种能在$\Theta(n)$时间玄学解决回文串问题的一种结构，代码难度也十分和蔼可亲。

回文树上的每个节点都代表一个不同的回文子串，相同的回文子串在同一节点。

值得注意的是，回文树上有两个根，0根以及-1根，分别表示空串和-1串，其本质是考虑奇串和偶串。

回文树上有两种边，一种是转移边，另一种是后缀边。

2.转移边

若回文串 $S$ 有一条 $ch$ 的转移边到 $S'$ ，说明存在一个回文串 $S$ 两端各增加1个字符 $ch$ ，将形成回文串 $S'$ 。

特殊的，对于 $-1$ 根的转移边，表示单个字符表示的回文串，如 $a$。

3.后缀边

若回文串 $S$ 有一条后缀边连接到 $S'$ ，说明 $S'$ 是 $S$ 的最大回文串后缀（不含$S$ 自身）。

对于 $0$ 根和 $-1$ 根，其后缀边都连向 $-1$ 根，为的是统一奇串和偶串。

因为每个节点只会向上有一条后缀边，所以所有后缀边会形成一棵树。

4.例子

黑色的边为转移边，红色的边为后缀边。

如图，5号节点代表的回文串为 $bab$ , 9号节点代表的回文串为 $caac$

二.构造

和后缀自动机一样，回文自动机使用增量法构造。在构造之前，定义一些变量：

$Trans[u][ch]$ , 点 $u$ 前后各增加一个字符 $ch$ 得到的点。

$Link[u]$ , 点 $u$ 的后缀边指向的点。

$Len[u]$ , 点 $u$ 所表示的回文串的长度。特殊的，为了得到奇串$-1$ 根的 $Len$ 为 $-1$。

$str[i]$ 表示需要构造的串的第 $i$ 位。

$Last$ , $str[i-1]$ 为右端点的最长回文子串的标号（必定存在，因为可以单独一个字符作为回文串）。

若 $str[i-len[Last]-1]≠str[i]$ ，即 $i-1$ 的最长回文串无法通过前后拓展一个字符 $S[i]$ 形成更长的回文串。

那么我们将 $Last$ 设为 $Link[Last]$ ，寻找它的最长回文后缀，最终一定能找到。最坏情况下来到 $-1$ 根 ， 此时一定满足条件。将现在到达的点记为 $u$ 。

找到后，说明 $u$ 可以前后加上 $str[i]$ 形成一个更长的回文串，那么$str[i]$为右端点的最长回文串就找到了。

1. 若此时 $Trans[u][str[i]]$ 不等于 $0$ ，也就是已经有一个这样的回文串了，那么将 $Last$ 设置为 $Trans[u][str[i]]$ , 结束。

2. 若不存在这样的回文串，需要新建一个节点 $Newnode$ 表示这个回文串。将 $Trans[u][str[i]]$ 设为 $Newnode$ ，并将 $len[Newnode]$ 设为 $len[u]+2$ 。顺着 $u$ 的 $Link$ 链走，直到再次出现 $str[i-len[u]-1]=str[i]$ 的位置， 此时将 $link[Newnode]$ 连向 $Trans[u][str[i]]$ 即可。

图解过程可以看看这篇博客。

三.复杂度

1.空间复杂度

空间复杂度是 $\Theta(nk)$ ，$n$是字符串长度 ， $k$ 是字符集大小。

不过可以通过$\text{Map}$优化空间。

2.时间复杂度

并不会证明，大概是建立后缀边的时候，一旦走过了一个点，之后再在后缀链上走时将会跳过该点。也就是复杂度均摊 $\Theta(n)$。

五.例题

先附一份模板：

struct Palindromes_Automaton {
    int Size , Last , Root0 , Root1 , Trans[ MAXN + 5 ][ MAXK + 5 ] , Link[ MAXN + 5 ];
    int Len[ MAXN + 5 ]；

    Palindromes_Automaton( ) {
        Root0 = Size ++ , Root1 = Size ++; Last = Root1;
        Len[ Root0 ] = 0  , Link[ Root0 ] = Root1;
        Len[ Root1 ] = -1 , Link[ Root1 ] = Root1; 
    }

    void Extend( int ch , int dex ) {
        int u = Last;
        for( ; str[ dex ] != str[ dex - Len[ u ] - 1 ] ; u = Link[ u ] );
        if( !Trans[ u ][ ch ] ) {
            int Newnode = ++ Size , v = Link[ u ];
            Len[ Newnode ] = Len[ u ] + 2;
            for( ; str[ dex ] != str[ dex - Len[ v ] - 1 ] ; v = Link[ v ] );
            Link[ Newnode ] = Trans[ v ][ ch ]; Trans[ u ][ ch ] = Newnode;
        }
        Last = Trans[ u ][ ch ];
    }
    void Build( char *str ) {
        int len = strlen( str );
        for( int i = 0 ; i < len ; i ++ )
            Extend( str[ i ] - 'a' + 1 , i );
    }
}PAM;

int main() {
    scanf("%s", str );
    PAM.Build( str );
    printf("%lld", PAM.Calc( ) );
    return 0;
}

1.P5496 【模板】回文自动机（PAM）

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2.SP7586 NUMOFPAL - Number of Palindromes

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3.P3649 [APIO2014]回文串

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5.CF17E Palisection

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